球面乘积上随机光滑函数的临界点集

我们证明了一个Chern-Lashof型公式，用于计算从配备高斯概率测度的有限维子空间$V\subset C^\infty(M)$中随机选取的光滑函数在光滑流形$M$上的临界点期望个数。然后利用该公式，求出了球面、环面或两个球面乘积上大量Laplacian特征函数的随机线性组合的临界点期望个数的渐近行为。在$M=S^1$的情形，我们证明次数$\leq \nu$的三角多项式的临界点个数是一个随机变量$Z_\nu$，其期望$E(Z_\nu)\sim 2\sqrt{0.6}\,\nu$，方差$var(Z_\nu)\sim c\nu$，当$\nu\to \infty$时，$c\approx 0.35$。