流形上随机分布点的覆盖半径

我们推导了关于期望覆盖半径 $\rho(X_N)$ 的基本渐近结果，其中 $N$ 个点是根据球面以及一类光滑流形上的表面积测度随机独立分布的。对于单位球面 $\mathbb{S}^d \subset \mathbb{R}^{d+1}$，我们得到了精确渐近：当 $N \to \infty$ 时，$\mathbb{E}\rho(X_N)[N/\log N]^{1/d}$ 的极限为 $[(d+1)\upsilon_{d+1}/\upsilon_d]^{1/d}$，其中 $\upsilon_d$ 是 $d$ 维单位球的体积。这证明了 Brauchart 等人近期的一个猜想，并扩展了先前仅对圆已知的结果。类似地，我们获得了 $N$ 个点随机分布在 $d$ 维球、$d$ 维立方体以及三维多面体（点根据体积测度独立分布）上时期望覆盖半径的精确渐近。更一般地，在测度满足一定正则性假设的前提下，我们推导了 $N$ 个点在度量测度空间上随机独立分布时期望覆盖半径的上界和下界。