黎曼流形中随机覆盖集的维数

设 ${\pmb M}$、${\pmb N}$ 和 ${\pmb K}$ 为 $d$ 维黎曼流形。假设 ${\bf A}:=(A_n)_{n\in{\Bbb N}}$ 是 ${\pmb M}$ 上一列满足必要密度条件的 Lebesgue 可测子集，且 ${\bf x}:=(x_n)_{n\in {\Bbb N}}$ 是一列独立随机变量，它们根据一个相对于黎曼体积并非纯奇异的测度分布在 ${\pmb K}$ 上。我们给出了随机覆盖集 ${\bf E}({\bf x},{\bf A}):=\limsup_{n\to\infty}A_n(x_n)\subset {\pmb N}$ 的 Hausdorff 维数几乎必然值的公式。这里 $A_n(x_n)$ 是 $A_n$ 依赖于 $x_n$ 的微分同胚像。我们还验证了 ${\bf E}({\bf x},{\bf A})$ 的 packing 维数几乎必然等于 $d$。