环面上仿射随机覆盖集的 Hausdorff 维数

我们计算了 d 维环面 $\mathbb T^d$ 中随机覆盖集 $\limsup_{n\to\infty}(g_n + \xi_n)$ 的几乎必然 Hausdorff 维数，其中集合 $g_n\subset\mathbb T^d$ 为平行六面体，或更一般地，为具有非空内部集合的线性像，且 $\xi_n\in\mathbb T^d$ 为独立且均匀分布的随机点。只要奇异值序列是递减的，由线性映射的奇异值导出的维数公式即成立。