一维乘性级联随机几何中的盒维数

我们研究集合 $E \subset \mathbb{R}$ 在随机乘性级联函数 $f$ 下的像的盒维数。Benjamini 与 Schramm 在随机几何背景下建立了相应的 Hausdorff 维数结果，且对充分正则的集合，同一公式对盒维数也成立。然而，我们表明这在一般情形下远非事实，并显式计算出一种性质迥异的公式，给出当集合 $E$ 由收敛序列构成时随机像 $f(E)$ 的几乎必然盒维数。特别地，$f(E)$ 的盒维数较之于仅依赖于其维数，更微妙地依赖于 $E$。我们还给出了一般集合 $E$ 的随机像盒维数的下界与上界。