关于复合多项式的方程 $f(g(x)) =f(x)h^m(x)$

本文求解方程 $f(g(x))=f(x)h^m(x)$，其中 $f(x)$、$g(x)$ 和 $h(x)$ 是系数在任意域 $K$ 中的未知多项式，$f(x)$ 非常数且可分，$\deg g \geq 2$，多项式 $g(x)$ 在 $K[x]$ 中具有非零导数 $g'(x) \ne 0$，且整数 $m \geq 2$ 不能被域 $K$ 的特征整除。我们证明，若 $\deg f \geq 3$，则该方程无解。若 $\deg f = 2$，我们证明 $m = 2$ 并用 Chebyshev 多项式显式给出所有解。针对系数在 $\Q$ 或 $\Z$ 中的此类多项式 $f(x)$、$g(x)$、$h(x)$ 的丢番图应用，我们在 Cassaign 等人关于 Liouville $\lambda$ 函数在有理点 $f(r)$ ($r \in \Q$) 取值的猜想背景下进行了讨论。