分区埃尔斯特氏级数的迹

我们研究了“分区埃尔斯特氏级数”，即埃尔斯特氏级数 $G_{2k}(\tau)$ 的扩展，定义为 $$\lambda=(1^{m_1}, 2^{m_2},\dots, k^{m_k}) \vdash k \ \ \ \ \longmapsto \ \ \ \ G_{\lambda}(\tau):= G_2(\tau)^{m_1} G_4(\tau)^{m_2}\cdots G_{2k}(\tau)^{m_k}.$$ 对于定义在分区空间上的函数 $\phi: \mathcal{P}\rightarrow \mathbb{C}$，权为 $2k$ 的“分区埃尔斯特氏迹”是准模ular形式 $${\mathrm{Tr}}_k(\phi;\tau):=\sum_{\lambda \vdash k} \phi(\lambda)G_{\lambda}(\tau).$$ 这些迹给出一些著名生成函数的显式公式，例如 2 维复平面格子 $\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}\tau$ 中逆点 $k$ 次初等对称函数，以及 Andrews-Garvan 转子函数的 $2k$ 次幂矩。为强调此类迹的普遍性，我们展示其推广形式给出具有扭转因子的一般雅可比型函数的Taylor系数。