关于无质量标量场配分函数、模不变性与 Eisenstein 级数的注记

计算了欧氏时空流形 $\mathbb{R}^{d-1}\times\mathbb{T}^2$ 上、紧致空间维度中动量算符通过纯虚化学势耦合的无质量标量场的配分函数。它是模协变的,并允许用实解析 SL$(2,\mathbb{Z})$ Eisenstein 级数以 $s=(d+1)/2$ 简单表示。计算配分函数的不同技术阐明了 Eisenstein 级数的互补方面:泛函方法给出其级数表示,算符方法产生其傅里叶级数,而固有时/热核/世界线方法表明它是 Riemann theta 函数的 Mellin 变换。高/低温对偶被推广到非零化学势的情形。通过澄清配分函数对环面几何的依赖性,我们讨论了模协变如何是全 SL$(2,\mathbb{Z})$ 不变性的结果。当时空流形为 $\mathbb{R}^p\times\mathbb{T}^{q+1}$ 时,配分函数由 SL$(q+1,\mathbb{Z})$ Eisenstein 级数给出,同样有 $s=(d+1)/2$。在此情形,我们通过适当改编的定义环面的格点的对偶参数化得到高/低温对偶。在 $\mathbb{T}^{d+1}$ 上,计算更为微妙。一个额外的发散导致谐异常。