对称多项式、广义 Jacobi-Trudi 恒等式与 $\tau$ 函数

Hardy 空间 $H^2$ 的 $n$ 维子空间的 Grassmannian 流形中的一个元素 $[\Phi]$，被扩展至域 $C(x_1,..., x_n)$ 上，可关联到 $C(x)$ 的任意多项式基 $\{\phi\}$。$\Phi$ 的 Plücker 坐标 $S^\phi_{\lambda,n}(x_1,..., x_n)$ 以分割 $\lambda$ 为标记，提供了 Jacobi 双交错行列式公式的类比，定义了 Schur 多项式的推广。将多项式系统满足的递推关系应用于完备对称函数的类比，生成一个对称多项式的双重无穷矩阵，该矩阵决定了 Grassmannian 流形的一个元素 $[H]$。证明了其与 $[\Phi]$ 一致，蕴含了一组将 Sergeev 和 Veselov 关于正交多项式情形所得结果加以推广的量子 Jacobi-Trudi 恒等式。证明了对称多项式 $S^\phi_{\lambda,n}(x_1,..., x_n)$ 是关于参数 $x_a$ 中单项式和 $[x]$ 的 KP (Kadomtsev-Petviashvili) $\tau$ 函数，其中参数 $x_a$ 被视为 KP 流变量。为其推导出了费米子算符表示，也为关联于任意一对多项式基 $(\phi, \theta)$ 的无穷和 $\sum_{\lambda}S_{\lambda,n}^\phi([x]) S^\theta_{\lambda,n} ({\bf t})$ 推导出了费米子算符表示，后者被证明是 2D Toda 格 $\tau$ 函数。给出了若干应用，包括经典群特征标展开、矩阵模型配分函数以及随机过程的生成元。