Petrie Pieri 规则与 Plethystic Pieri 规则的组合论证

Petrie 对称函数 $G(k,n)$，也称为截断齐次对称函数或模块完备对称函数，属于在初等对称函数 $e_n$ 与齐次对称函数 $h_n$ 之间进行插值的对称函数类别。类似于 $s_\mu h_n$ 和 $s_\mu e_n$ 的 Pieri 规则及其对偶规则，Grinberg 证明了 $s_\mu G(k,n)$ 的 Schur 系数可由 Petrie 矩阵的行列式 $\mathbf{pet}_k(\lambda,\mu)$ 确定。Cheng、Chou、Eu、Fu 与 Yao 提供了 $\mathbf{pet}_k(\lambda,\varnothing)$ 的丝带铺砌解释，后由 Jin、Jing 与 Liu 将其推广至 $\mathbf{pet}_k(\lambda,\mu)$ 的情形，其中 $\lambda/\mu$ 为连通形状。本文旨在提供 Petrie 对称函数结构与行为更透明的组合论视角。首先，我们以 Petrie 矩阵关联图的某些方向为基础，给出矩阵行列式的细化组合论公式。随后，我们纯粹通过组合论证明将 JJL 结果推广至任意 skew 形状。此外，我们研究这些方向相对于特定统计量的生成函数。作为本方法的应用，我们给出 Plethystic Pieri 规则的组合论证。