Stanley-Macdonald Pieri 规则的一些新应用

Richard Stanley 在一篇开创性论文中推导了 Jack 对称函数基的 Pieri 规则。Macdonald 将这些规则推广到了他如今著名的对称函数基。这些规则的原始形式具有令人望而生畏的复杂性，使其难以用于显式计算。在 20 世纪 90 年代初，人们发现由于大量的抵消，对偶规则（即用 $e_1$ 对修正 Macdonald 多项式 ${\tilde H}_\mu[X;q,t]$ 进行斜除）可以用 $\mu$ 的 Ferrers 图的角权重的非常简单的组合形式来表示。最后一位作者后来获得了 ${\tilde H}_\mu[X;q,t]$ 乘以 $e_1$ 的类似公式，但从未发表。在随后的几年里，我们看到这两个 Pieri 规则在建立 Macdonald 多项式理论中高度非平凡的组合结果方面得到了真正非凡的应用。最近，Hikita、Schiffmann、Schiffmann-Vasserot、A. Negut 和 Gorsky-Negut 的工作通过各种代数几何结果极大地丰富了这一理论。这一发展带来了通过纯代数组合方法推导其结果的挑战性任务。本文展示了利用 Pieri 规则所取得的进展。