约束系数多项式的实零点数

我们证明存在绝对常数 $c > 0$，使得形式为 $$P(z) = \sum_{j=0}^{n}{a_jz^j}\,, \quad |a_0| = 1\,, \quad |a_j| \leq M\,, \quad a_j \in \Bbb{C}\,, \quad M \geq 1\,,$$ 的每个多项式 $P$ 在区间 $[-1,1]$ 内最多有至多 $cn^{1/2}(1+\log M)^{1/2}$ 个零点。该结果在乘法常数 $c > 0$ 上与尖锐，并且扩展了 Borwein、Erd\'elyi 和 K\'os 于 $M=1$ 情形下的早期结果。Jacob 和 Nazarov 最近在其论文的附录中使用不同方法证明了该结果，其中 $(1+\log M)$ 而非 $(1+\log M)^{1/2}$。我们也证明存在绝对常数 $c > 0$，使得上述形式的每个多项式 $P$ 在区间 $[-1+a,1-a]$ 内最多有至多 $(c/a)(1+\log M)$ 个零点，其中 $a \in (0,1)$。最后我们纠正了 Borwein 和 Erd\'elyi 较早期结果的一个略带不正确的证明，通过证明存在常数 $\eta > 0$，使得上述形式的每个 $M = 1$ 的多项式 $P$ 在以单位圆上顶点组成的任意多边形内部最多有至多 $\eta n^{1/2}$ 个零点，其中乘法常数 $\eta > 0$ 仅取决于该多边形。