Van der Waerden定理在零点附近的多项式推广

设$S$为实数的一个稠密子环。本文证明了Van der Waerden定理在零点附近的一个多项式版本。事实上，我们证明：若$p_1,\ldots,p_m \in \mathbb{Z}[x]$是满足$p_i(0) = 0$的多项式，且存在$\delta > 0$使得对每个$x \in (0,\delta)$及每个$i=1,\ldots , m$都有$p_i(x) > 0$。则对$S\cap(0,1)$的任意有限划分$\mathcal{C}$以及满足$\sum_{n=1}^\infty f(n)<\infty$的任意序列$f:\mathbb{N}\to S\cap(0,1)$，存在一个单元格$C \in \mathcal{C}$、一个元素$a \in S$以及一个$F \in P_f(\mathbb{N})$，使得 $$\{ a + p_i(\sum_{t \in F} f(t)) : i = 1,2,\ldots,m \} \subseteq C.$$