多项式的细化饱和定理及其应用

对于动力系统 $(X,T)$， $d\in\mathbb{N}$ 和互不相同的非常数整系数多项式 $p_1,\ldots, p_d$ 在 0 处消失，引入沿 $C=\{p_1,\ldots, p_d\}$ 的区域相近关系概念（记为 $RP_C^{[d]}(X,T)$）。结果表明，对于最小系统，若 $RP_C^{[d]}(X,T)=\Delta$，则 $X$ 是某个 $k\in\mathbb{N}$ 的最大 $k$ 步 pro-nilfactor $X_k$ 的几乎一一覆盖，且具有零熵值，其中 $k$ 取决于与 $C$ 关联的有限多项式集合。特别地，当 $C$ 为线性多项式集合时，证明 $RP_C^{[d]}(X,T)=\Delta$ 意味着 $(X,T)$ 是一个 $d$ 步 pro-nilsystem，这否定了 \cite{5p} 中的一个猜想。通过证明多项式的细化饱和定理获得了这些结果。