高阶的独立性与几乎自同构性

本文证明了对于极小系统$(X,T)$和$d,k\in \mathbb{N}$，若$(x,x_i)$为$d$阶区域邻近（对$1\leq i\leq k$），则$(x,x_1,\ldots,x_k)$是$(k+1)$阶$d$阶区域邻近。同时，我们引入$\mathrm{IN}^{[d]}$-对的概念：对动力系统$(X,T)$和$d\in \mathbb{N}$，若对任意$k\in \mathbb{N}$及$x_0,x_1$的邻域$U_0,U_1$，存在整数$p_j^{(i)},1\leq i\leq k,1\leq j\leq d$使得$$\bigcup_{i=1}^k\{ p_1^{(i)}\epsilon(1)+\ldots+p_d^{(i)} \epsilon(d):\epsilon(j)\in \{0,1\},1\leq j\leq d\}\backslash \{0\}\subset \mathrm{Ind}(U_0,U_1),$$其中$\mathrm{Ind}(U_0,U_1)$表示$(U_0,U_1)$的所有独立集的集合，则称对$(x_0,x_1)\in X\times X$为$\mathrm{IN}^{[d]}$-对。结果表明，对极小系统，若其不含任何非平凡$\mathrm{IN}^{[d]}$-对，则它是其$d$阶极大因子的几乎一一扩张。