关于设计显式构造的注记

一个 $(n,r,s)$-系统是一个在 $n$ 个顶点上的 $r$-均匀超图，使得每对边的交集大小小于 $s$。使用概率论证，R\"{o}dl 和 \v{S}i\v{n}ajov\'{a} 证明了对于所有固定的整数 $r> s \ge 2$，存在一个 $(n,r,s)$-系统，其独立数为 $O\left(n^{1-\delta+o(1)}\right)$，其中某个最优常数 $\delta >0$ 仅与 $r$ 和 $s$ 有关。我们证明对于某些满足 $s\le r/2$ 的配对 $(r,s)$，存在独立数为 $O\left(n^{1-\epsilon}\right)$ 的 $(n,r,s)$-系统的显式构造，其中 $\epsilon > 0$ 是仅与 $r$ 和 $s$ 有关的绝对常数。此前仅由 Chattopadhyay 和 Goodman 的结果可知 $s>r/2$ 时成立。