极小系统的 d 阶区域近端关系是等价关系及其组合推论

通过证明面变换在对角点上的极小性以及搜索极小集中允许的点，我们证明了对于极小系统，$d$ 阶区域近端关系 $\RP^{[d]}$ 是一个等价关系。此外，得到了两个极小系统之间 $\RP^{[d]}$ 的提升，这意味着由 $\RP^{[d]}$ 诱导的因子是最大 $d$ 步幂零因子。上述结果推广了 Host、Kra 和 Maass 对极小远端系统证明的相同结论。一个组合推论是：如果 $S$ 是 $\Z$ 的一个动态 syndetic 子集，那么对于每个 $d\ge 1$，$$\{(n_1,\...,n_d)\in \Z^d: n_1\ep_1+... +n_d\ep_d\in S, \ep_i\in \{0,1\}, 1\le i\le d\}$$ 是 syndetic 的。在某种意义上，这是 Host 和 Kra 使用遍历方法对正上 Banach 密度子集所得结果的拓扑对应。