更高阶 Veech 定理

对于 abelian 群 $G$，$\vec{g}=(g_1,\ldots,g_d)\in G^d$ 和 $\epsilon=(\epsilon(1),\ldots,\epsilon(d))\in \{0,1\}^d$，记 $\vec{g}\cdot\epsilon=\prod_{i=1}^{d}g_i^{\epsilon(i)}$。本文证明，对于一个最小系统 $(X,G)$，其中 $G$ 为 abelian 群，当且仅当 $(x,y)\in \mathbf{RP}^{[d]}$ 时，存在序列 $\{\vec{g}_n\}_{n\in \mathbb{N}}\subseteq G^d$ 和点 $z_{\epsilon}\in X,\epsilon\in \{0,1\}^d$，且 $z_{\vec{0}}=y$，满足对每一个 $\epsilon\in \{0,1\}^d\backslash\{ \vec{0}\}$，都有 $$\lim_{n\to\infty}(\vec{g}_n\cdot\epsilon)x= z_\epsilon\quad \mathrm{且} \quad \lim_{n\to\infty}(\vec{g}_n\cdot\epsilon)^{-1}z_{\vec{1}}=z_{\vec{1}-\epsilon},$$其中 $\mathbf{RP}^{[d]}$ 为阶为 $d$ 的区域近平关系。