近似群中的阿贝尔结构及 Alon 对 Ramsey Cayley 图的猜想

Pyber 证明了每个有限群 $G$ 包含一个阶在 $|G|$ 的准多项式大小的阿贝尔子群。我们在对 $K$-近似子群的可解群中仅受适度限制的情况下，证明了类似的结果。我们表明，如果 $A$ 是某个可解群中大小为 $K$ 的近似子群，则存在某个阿贝尔群与 $A^4$ 至少包含 $\exp(\Omega(\log^{1/6}|A|/\log 2K))$ 个元素。我们也证明了类似结果适用于没有大型交替子商的有限群的近似子群。为此，我们在线性群的近似子群中获得了（而非准多项式的）多项式界。我们给出两个应用。首先，我们考虑 Alon 的猜想，即每个有限群 $G$ 都存在一个 Cayley 图，其 clique 数和 independence 数均为 $O(\log|G|)$。Conlon、Fox、Pham 和 Yepremyan 最近证明了对于几乎所有正整数 $N$，阶为 $N$ 的阿贝尔群满足 Alon 的猜想。我们扩展了该结果，验证了几乎所有阶的数值的（非必需为阿贝尔）群都满足 Alon 的猜想。其次，我们使用 Kelley 和 Meka 在 Roth 定理上的最新突破，以及 Jaber、Liu、Lovett、Ostuni 和 Sawhney 对 corners 问题的最新进展，在许多非阿贝尔情形下以准多项式界证明 Roth 定理的“局部”版本。