随机 Cayley 图的 Clique 数及其相关问题

我们证明了阶为 $N$ 的群上的随机 Cayley 图在高概率下拥有 Clique 数为 $O(\log N \log \log N)$。该界限在包含 $\mathbb{F}_2^n$ 等特定群的情况下，仅比阿隆内(O(N) 的下界)常数因子差距，改进了阿隆内长期以来的上界 $O(\log^2 N)$。我们的证明不依赖于 underlying group 结构，纯为组合方法，关键结果是对给定阶数子集在properly edge-colored complete graph中最多包含给定颜色数的上界。作为进一步的应用，我们研究了阿隆内的猜想：每个阶为 $N$ 的群都存在一个 Cayley 图，其 Clique 数和 independence number 均为 $O(\log N)$，我们证明了该猜想对所有阶为 $N$ 的阿贝尔群（对于几乎所有 $N$）成立。对于特征为 $1 \pmod 4$ 的阶为 $N$ 的有限向量空间，我们证明存在一个自互补 Cayley 图，其 Clique 数和 independence number 均不超过 $(2+o(1))\log N$。这匹配了来自随机图的 Ramsey 数的下界，并以强形式解决了阿隆内和奥尔利茨基(受信息论启发)的问题。