分圆图团数的精确值与改进界

设 $q$ 为素数 $p$ 的奇次幂，且 $S \subset \mathbb{F}_q^*$ 满足 $S=-S$ 且 $S/S \neq \mathbb{F}_q^*$。我们证明 Cayley 图 $\operatorname{Cay}(\mathbb{F}_q^+,S)$ 的团数至多为 $\sqrt{|S/S|}+\sqrt{q/p}$，对许多此类图的已知最佳 $\sqrt{q}$ 上界有实质性改进。这一新界对分圆图最强，特别地，它给出了所有非平方阶广义 Paley 图团数的第一个非平凡上界，推广了 Hanson 和 Pertidis 的工作。此外，我们的新界对一类无穷广义 Paley 图族是渐近紧的，并且我们进一步发现了其中首个可精确确定团数的非平凡图族。我们还得到了仿射 Galois 平面 $AG(2,q)$ 中由大笛卡尔积所确定方向数的新下界，该下界对无穷族是紧的。