谱伪随机性以及改进 Paley 图团数上界的途径

我们研究素数阶 $p$ 的 Paley 图的子图，这些子图在将给定大小为 $a$ 的独立集扩展为更大独立集的顶点集合上诱导。利用作者近期伴随工作中证明的一个充分条件，我们表明一类特征和估计将蕴含：当 $p \to \infty$ 时，任意此类子图序列的邻接矩阵的经验谱分布（经重标度后）与在随机集合（每个顶点以概率 $2^{-a}$ 独立包含）上诱导的子图具有相同的弱极限，即参数为 $2^a$ 的 Kesten-McKay 律。我们证明了 $a = 1$ 时的必要估计，并在此过程中得到了 Xi (2022) 的一个特征和等分布结果的另证，并为 $a \geq 2$ 时的该弱收敛提供了数值证据。我们还猜想任意此类序列的最小特征值（经重标度后）收敛到相应 Kesten-McKay 律的左边缘，并为此收敛提供了数值证据。最后，我们表明一旦 $a \geq 3$，该最小特征值的（猜想中的）收敛将蕴含对 Paley 图团数的上界改进，优于 Hanson 和 Petridis (2021) 的当前最优结果，且对所有 $a \geq 1$ 的该收敛将蕴含团数为 $o(\sqrt{p})$。