强化克里福不等式的下界

给定整数 $k$，判定图中是否存在大小为 $k$ 的完全子图是 NP 完全问题。Wilf 不等式为简单图的完全图数提供了谱边界。Wilf 不等式的表述如下：$\frac{n}{n - \lambda_{1}} \leq \omega$，其中 $\lambda_1$ 为图的邻接矩阵 $A(G)$ 的最大特征值，$n$ 为图 $G$ 的顶点数，$\omega$ 为图的完全图数。为强化此界，Elphick 和 Wocjan 于 2018 年提出了一个猜想，其表述如下：$\frac{n}{n - \sqrt{s^{+}}} \leq \omega$，其中 $s^+ = \sum_{\lambda_{i} > 0} \lambda_{i}^2$，$\lambda_i$ 为 $A(G)$ 的特征值。本文对该猜想进行了证明，涵盖会议图、参数为 $\lambda = \mu$ 的强规则图（即 $srg(n, d, \mu, \mu)$）且 $n \geq 2d$ 的情况、$K_{n}$ 的线图、强规则图的笛卡尔积，以及 $n \geq 11d$ 的拉姆达布图。