局部(邻接)度数维数与图的(clique)数的相互作用

设 $G$ 为一个简单连通图，$n(G)$ 为其阶数，${\rm dim}_l(G)$ 为局部度数维数，${\rm dim}_{A,l}(G)$ 为局部邻接度数维数，$\omega(G)$ 为图的(clique)数，其中 $G\not\cong K_{n(G)}$ 且 $\omega(G)\geq3$。证明了 ${\rm dim}_{A,l}(G) \leq \left\lfloor \left(\frac{\omega(G) - 2}{\omega(G) - 1}\right)n(G)\right\rfloor$。因此，确认了后者表达式是 ${\rm dim}_l(G)$ 上界的猜想。值得注意的是，有无数多个图满足等式。