关于 $K_5$-自由图的局部度数

设 $G$ 为阶数 $n(G) \geq 5$ 的图，局部度数 $\dim_l(G)$， clique 数 $\omega(G)$。本文考察 $K_5$-自由图的局部度数，证明当 $\omega(G) = 4$ 时，$\dim_l(G) \leq \lfloor\frac{2}{3}n(G)\rfloor$。基于此结果以及前期文献，我们建立若 $G$ 为 $K_5$-自由图，则当 $\omega(G) = 2$ 时 $\dim_l(G) \leq \lfloor\frac{2}{5}n(G)\rfloor$，当 $\omega(G) = 3$ 时 $\dim_l(G) \leq \lfloor\frac{1}{2}n(G)\rfloor$，当 $\omega(G) = 4$ 时 $\dim_l(G) \leq \lfloor\frac{2}{3}n(G)\rfloor$。值得注意的是，这些界限对平面图而言是尖锐的。这些结果为 clique 数小于等于 4 的图提供了正面答案，证明当 $n(G) \geq \omega(G) + 1 \geq 4$ 时，$\dim_l(G) \leq \left( \frac{\omega(G) - 2}{\omega(G) - 1} \right)n(G)$。