多路谱划分与高阶 Cheeger 不等式

谱图论中的一个基本事实是:无向图的连通分量个数等于其拉普拉斯矩阵特征值零的重数。特别地,图不连通当且仅当至少有两个特征值为零。Cheeger 不等式及其变体给出了后一事实的近似版本:它们表明图存在稀疏割当且仅当至少有两个特征值接近零。人们曾猜想对更高的重数也有类似的刻画,即:有 $k$ 个特征值接近零当且仅当顶点集可被划分为 $k$ 个子集,每个子集都对应一个稀疏割。本文证实了这一猜想。我们的结果为那些利用底部 $k$ 个特征向量将顶点嵌入 $\mathbb R^k$、再对嵌入施加几何考虑的聚类算法提供了理论依据。我们还证明,这些技巧在规模约为 $n/k$ 的集合的膨胀率与归一化拉普拉斯矩阵的第 $k$ 小特征值 $\lambda_k$ 之间,给出了一个近乎最优的折中。具体而言,我们证明在任意图中,都存在一个规模不超过 $2n/k$ 的集合,其膨胀率不超过 $O(\sqrt{\lambda_k \log k})$。这一界对"含噪超立方体"图而言,在常数因子意义下是紧的。