关于超图谱的性质

本文通过引入不同的连通性矩阵（如邻接矩阵、拉普拉斯矩阵和归一化拉普拉斯矩阵），研究非均匀超图底层加权图的谱性质。我们表明，超图的不同结构性质可借助这些矩阵的谱性质得到很好的研究。超图的连通性也由这些算子的特征值加以考察。其谱半径由超图的度所界定。超图的直径亦由其连通性矩阵的特征值所界定。我们刻画了由谱所表征的正则超图的若干不同性质。超图的强（顶点）色数由特征值界定。我们定义了超图上的Cheeger常数，并表明它可分别由连通超图的拉普拉斯矩阵与归一化拉普拉斯矩阵的最小非平凡特征值所界定。我们还给出了一种通过分析与该超图上的转移概率算子相关的谱来研究（非均匀）超图上随机游走的方法。我们以两种不同方式引入了超图上的Ricci曲率。我们表明，若超图上的拉普拉斯算子 $\Delta$ 满足曲率-维数型不等式 $CD (\mathbf{m}, \mathbf{K})$，其中 $\mathbf{m}>1$ 且 $\mathbf{K}>0$，则 $-\Delta$ 的任一非零特征值可由 $\frac{ \mathbf{m} \mathbf{K}}{ \mathbf{m} -1 }$ 从下方界定。定义在连通超图上的归一化拉普拉斯算子的特征值可由该超图的Ollivier Ricci曲率所界定。