改进的 Cheeger 不等式：通过高阶谱隙分析谱划分算法

设 $\phi(G)$ 为无向图 $G$ 的最小电导，设 $0=\lambda_1 <= \lambda_2 <=... <= \lambda_n <= 2$ 为 $G$ 的归一化 Laplacian 矩阵的特征值。我们证明，对于任意图 $G$ 和任意 $k >= 2$，$\phi(G) = O(k) \lambda_2 / \sqrt{\lambda_k}$，并且该性能保证由谱划分算法实现。这改进了 Cheeger 不等式，且对于任意 $k$，该界在常数因子意义下是最优的。我们的结果表明，如果对于某个常数 $k$，$\lambda_k$ 是常数，则谱划分算法是寻找稀疏割的常数因子近似算法。这为其在图像分割和聚类问题中的经验表现提供了一定的理论依据。我们将该分析扩展到其他图划分问题，包括多路划分、平衡分隔符和最大割。