度量图上的 Cheeger 割与 Robin 谱极小划分

我们研究基于度量图 $k$-划分上两类表面不同能量泛函的划分问题：Cheeger 型泛函，其极小元为图的 $k$-Cheeger 割，相应值为图的 $k$-Cheeger 常数；以及利用划分元素边界处具有正（即吸收型）Robin（delta）顶点条件的拉普拉斯算子首特征值构建的泛函。我们证明了对这两类泛函，$k \geq 2$ 时极小化 $k$-划分的存在性。我们还表明，对每个 $k \geq 2$，当 Robin 参数 $\alpha \to 0$ 时，经重整化后谱极小 Robin 能量收敛于 $k$-Cheeger 常数。此外，沿子列，Robin 谱极小 $k$-划分以自然意义收敛于图的一个 $k$-Cheeger 割。最后，我们表明当 $\alpha \to \infty$ 时，在类似意义下收敛于相应的 Dirichlet 极小能量与划分。我们强烈预期类似结果在一般（光滑、有界）欧氏域与流形上亦成立。