关于谱极小划分的磁 characterization

给定 $\mathbb R^n$（或黎曼流形）中的有界开集 $\Omega$ 以及将 $\Omega$ 划分为 $k$ 个开集 $D_j$ 的划分，我们考虑量 $\max_j \lambda(D_j)$，其中 $\lambda(D_j)$ 是 $D_j$ 中 Laplace 算子 Dirichlet 实现的基态能量。如果记 $\mathfrak L_k(\Omega)$ 为所有 $k$-划分上 $\max_j \lambda(D_j)$ 的下确界，则极小 $k$-划分即为实现该下确界的划分。当 $k=2$ 时，得到第二本征函数的两个节域，但对更高 $k$ 的分析并非平庸且十分有趣。本文给出了 V. Bonnaillie-Noel 与 B. Helffer 先前提出的关于 $n=2$ 时极小划分磁 characterization 的一个猜想的证明。