关于谱等分边界集的注记

给定 $\mathbb{R}^n$ 中的有界开集 $\Omega$（或带边界的紧 Riemann 流形），以及由 $k$ 个开集 $\omega_j$ 构成的 $\Omega$ 的划分，我们考虑量 $\max_j \lambda(\omega_j)$，其中 $\lambda(\omega_j)$ 是 $\omega_j$ 中 Laplacian 的 Dirichlet 实现的基态能量。我们将所有 $k$-划分上 $\max_j \lambda(\omega_j)$ 的下确界记为 $\mathfrak{L}_k(\Omega)$。极小 $k$-划分是指实现该下确界的划分。本文旨在重新审视 nodal sets 的性质，并探讨这些性质是否也适用于极小划分，或更一般地适用于谱等分。我们重点关注二维情形下划分边界集的长度。