无界域的谱最优分区

我们研究了在d维空间中构造k谱最优分区的问题，其中要最小化的能量函数是适当 Schr"odinger 算子 $-\Delta +V$ 的本谱最小值在p范数（$1 \le p \le \infty$）下，算子在分区单元（细胞）的边界上施加 Dirichlet 边界条件。本文的主要创新之处在于允许域为无界的，包括无限体积的域。首先，我们证明了在所有k分区中找到的最小本谱能量的尖锐上界，该上界涉及整个域上 Schr"odinger 算子本谱下界 $\Sigma$ 以及所有k-1分区的最小能量。严格低于此阈值处，我们发展了一种类似浓度紧凑性的论证，表明最优分区存在，且每个细胞都 admits ground state（即每个细胞上的本谱是简单孤立特征值）。其次，对于 $p<\infty$，当能量与阈值水平相等时，我们表明可能存在也可能不存在最小化分区。此外，即使这些分区存在，它们也可能不具有 ground state。再者，对于 $p=\infty$，最小分区总是存在的，即便在阈值水平，但这些分区可能或可能不 admit ground state。此外，在阈值以下，我们总是可以构造一个 minimizer，它是一个等分区。在阈值水平上，我们表明谱最优分区可能不需要是等分区。我们给出了各种域和势能的例子，以说明在本setting下发生的各种新现象。