最小化随机形变晶格中电子的基态能量

我们对 $L^2(\R^d)$ 中形如 $H=-\Delta + \sum_{i \in \Z^d}q(x-i-\omega_i)$ 的随机薛定谔算子的谱极小值进行了刻画，其中单点势 $q$ 具有反射对称性，紧支撑在以0为中心的单位立方体中，且位移参数 $\omega_i$ 受到限制，使得相邻的单点势不重叠。特别地，我们证明了位移的极小化构型由单点势的最密集可能的 $2^d$ 簇的周期性模式给出。证明这一结论的主要工具是诺伊曼问题谱理论中的一个相当普遍的现象，我们将其称为“气泡趋向边界”。一个给定的紧支撑势应该如何放置在有界区域中，以最小化或最大化该区域上薛定谔算子的第一诺伊曼特征值？对于正方形或矩形区域以及反射对称势，我们证明了当势位于区域的一个角时，第一诺伊曼特征值最小；当势位于区域的中心时，第一诺伊曼特征值最大。使用不同的方法，我们还证明了光滑严格凸区域的相应结果。