具有 Robin 边界条件的谱泛函最优形状的存在性与正则性

我们建立了在 $\Omega$ 上测度约束下最小化形如 $F(\lambda_1(\Omega;\beta),\dots,\lambda_k(\Omega;\beta))$ 的泛函的开集的存在性，并找到了其若干定性性质，其中 $\lambda_i(\Omega;\beta)$ 表示 $\Omega$ 上带参数 $\beta>0$ 的 Robin 边界条件的拉普拉斯算子的第 $i$ 个特征值。此外，我们证明对于 $k\geq 2$，$\lambda_k(\Omega;\beta)$ 的最小化子在三维及更高维中验证猜想 $\lambda_k(\Omega;\beta)=\lambda_{k-1}(\Omega;\beta)$。