星形平面区域上的磁谱界

我们在横向恒定磁场假设下，针对 Dirichlet 或 Neumann 边界条件，开发了星形平面区域上磁 Laplacian 能级的尖锐上界。我们的主要结果表明，只要 $\Phi$ 是凹增函数，$n \geq 1$，区域面积为 $A$，且 $\lambda_j$ 是磁 Laplacian $\big( i\nabla+ \frac{\beta}{2A}(-x_2,x_1) \big)^2$ 的第 $j$ 个 Dirichlet 特征值，则 $\sum_{j=1}^n \Phi \big( \lambda_j A/G \big)$ 在圆盘处取得最大值。此处通量 $\beta$ 为常数，尺度不变因子 $G$ 用于惩罚偏离圆形的程度，即对所有区域 $G \geq 1$，而对圆盘 $G=1$。