具有角点的谱划分的稳定性
偏微分方程分析
2024-11-05 v1 谱理论
摘要
流形的谱极小划分是将流形分解为若干子集，并使谱能量泛函最小化的一种分解。已知二部极小划分对应于 Courant 尖锐本征函数的节点划分，但非二部情况则更具挑战性。在本文中，我们通过定义一个修正的拉普拉斯算子，统一了二部和非二部情形，并证明了该算子本征函数的节点划分恰好是谱能量泛函的临界点。此外，我们证明了临界点的 Morse 指标等于相应本征函数的节点亏损。我们主要结果的一些显著推论是：1) 在二部情形下，能量泛函的每个局部极小值都是全局极小值；2) 在非二部情形下，能量泛函的每个局部极小值都在某个特定拓扑类划分内达到最小。我们的结果适用于具有非光滑边界的划分；这带来了相当大的技术挑战，我们通过 Sobolev 空间 中精细的逼近论证克服了这些挑战。
关键词
引用
@article{arxiv.2411.02378,
title = {Stability of spectral partitions with corners},
author = {Gregory Berkolaiko and Yaiza Canzani and Graham Cox and Peter Kuchment and Jeremy L. Marzuola},
journal= {arXiv preprint arXiv:2411.02378},
year = {2024}
}