定义诺伊曼域的谱位置
谱理论
2023-11-22 v2
摘要
二维黎曼流形上的拉普拉斯特征函数提供了一种到诺伊曼域（亦称莫尔斯-斯梅尔复形）的自然划分。该划分由特征函数的梯度流线生成，这些流线界定了所谓的诺伊曼域。我们证明定义在诺伊曼域上的诺伊曼拉普拉斯算子是自伴的且具纯离散谱。此外，我们证明特征函数对其任一诺伊曼域的限制都是诺伊曼拉普拉斯算子的一个特征函数。相比之下，关于特征函数节点域上的狄利克雷拉普拉斯算子的类似结论是基本且众所周知的。此处的困难在于诺伊曼域的边界可能有尖点与裂痕，因此关于索伯列夫空间的标准结果不可用。另一个非常常用的共同事实是，节点域上受限的特征函数是狄利克雷拉普拉斯算子的第一特征函数。这对诺伊曼域不再成立。我们的结果使得对诺伊曼域的谱位置问题的研究成为可能，该问题比其节点对应问题要复杂得多。
引用
@article{arxiv.2009.14564,
title = {Defining the spectral position of a Neumann domain},
author = {Ram Band and Graham Cox and Sebastian Egger},
journal= {arXiv preprint arXiv:2009.14564},
year = {2023}
}
备注
Results in Section 4 have been significantly generalized in v2