图的临界等分区的稳定性

我们考察的是将有限简单加权图划分为使其谱能量泛函最小的划分。该能量定义为每个连通分量上最大特征值的函数。我们对该泛函在相对于固定组合划分的微小扰动参数下的最小化进行了研究。已证明，在此框架下，能量泛函的临界点对应于图拉普拉斯的非退化特征向量当且仅当划分是二分的。本文推广了该结果至非必然二分的划分，通过构造一种称为分区拉普拉斯的修改图拉普拉斯。主要结果表明，谱能量泛函的临界点对应于分区拉普拉斯的非退化特征向量的节态划分。此外，每个临界点的稳定性完全由其关联特征向量的节态缺乏程度决定。我们还考虑更一般的带符号拉普拉斯，证明了 Courant 锋利的拉普拉斯特征向量诱导全局最小划分。