符号图的 Cheeger 常数、结构平衡与谱聚类分析

我们在符号图 $\Gamma=(G,\sigma)$ 上引入了一族多路 Cheeger 型常数 $\{h_k^{\sigma}, k=1,2,\ldots, n\}$，使得当且仅当 $\Gamma$ 具有 $k$ 个平衡连通分量时 $h_k^{\sigma}=0$。这些常数具有切换不变性，并在统一视角下汇集了许多重要的图论概念，包括经典 Cheeger 常数、Desai-Rao、Trevisan、Bauer-Jost 分别在无符号图上引入的二分性度量，以及符号图上的挫折指数（最初由 Harary 称为平衡线指数）。我们进一步通过建立符号图上的相应版本，统一了无符号图的（高阶或改进的）Cheeger 不等式和对偶 Cheeger 不等式及其基础算法证明技术。特别是，我们开发了一种谱聚类方法用于寻找 $k$ 个近似平衡的子图，每个子图定义一个稀疏割。此类聚类的适当度量是实射影空间上的度量。我们还证明了用符号三角形（$3$-圈）的数量来估计符号拉普拉斯矩阵极值特征值的界限。