通过环路数获取多路 Cheeger 常数的谱界

作为所谓 Cheeger 不等式的非平凡延伸，Lee、Oveis Gharan 和 Trevisan 提出的图的高阶 Cheeger 不等式为每个 $k$ 提供了一个关于 $k$ 路 Cheeger 常数的上界，形式为 $C(k)\sqrt{\lambda_k(G)}$，其中 $\lambda_k(G)$ 是图的拉普拉斯算子的第 $k$ 个特征值，$C(k)$ 仅依赖于 $k$ 的常数。本文我们证明了一些关于多路 Cheeger 常数的新型界限。通过通过环路数移位特征值的索引，我们建立了以绝对常数而非 $C(k)$ 为界的上估计。这在 particular 为 Miclo 的树状图的高阶 Cheeger 不等式提供了更直接的证明。我们还展示了一种以图的谱半径为界的多路 Cheeger 常数的新型下界。证明涉及离散节点域的概念，以及显示本征函数一般性质的概率论论证。