非分解临界4和5-frustrated有向图的有限性

一个带签名的图 $(G,\sigma)$ 是一个图 $G$ 以及一个签名 $\sigma$ 对其每条边标记为正或负的标签。两个签名的 $G$ 在若干等价情况下被称为交换等价，如果一个可以通过改变一条割边中所有边的符号来得到另一个。带签名的图 $(G, \sigma)$ 的挫败指数是其所有等价签名中负边数的最小值。如果一个带签名的图的挫败指数为 $k$，且删除任何一条边都会使其挫败指数下降，则称其为临界 $k$-挫败的带签名图。如果一个临界 $k$-挫败的带签名图没有细分边（包括多边），且其任何子图都不是临界挫败带签名图的边不相交的并集，则称其为素数。Steffen 和 Naserasr 等人 conjectured 对于任意正整数 $k$，存在有限个素数临界 $k$-挫败的带签名图。已近期由 Cappello 等人证实了 $k=1,2,3$ 的情况为真。在本文中，我们证明了该猜想在 $k=4$ 和 $5$ 时成立。