带符号广义 Petersen 图的最大失调

带符号图是指边被标以正号或负号的简单图。若一圈的边号乘积为正，则称该圈为正圈。若图中每个圈均为正圈，则称该带符号图是平衡的。带符号图的失调指数是指使其变为 balanced 所需删去的最少边数。图的最大失调是指所有符号标号下失调指数的最大值。本文中，我们首先证明广义 Petersen 图 $P_{n,k}$ 在 $\gcd(n,k)=1$ 时的最大失调以 $\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor + 1$ 为上界，且此界在 $k=1,2,3$ 时取到。其次，我们证明当 $\gcd(n,k)=d\geq2$ 时，$P_{n,k}$ 的最大失调以 $d\left\lfloor \frac{n}{2d} \right\rfloor + d + 1$ 为上界。