受挫三角形

如果一个图中的三个顶点诱导出的边数为奇数，则称该三元组为\emph{受挫三角形}。我们研究了$n$个顶点的图$G$中可能的受挫三角形数量$f(G)$的集合$F_n\subset[0,\binom{n}{3}]$。我们证明了在$[0,n^{3/2}]$中约有三分之二的数不可能出现在$F_n$中，并刻画了满足$f(G)\in[0,n^{3/2}]$的图$G$。更确切地说，我们的主要结果是：对于每个$n\geq 3$，$F_n$包含两个交错序列$0=a_0\leq b_0\leq a_1\leq b_1\leq \dots \leq a_m\leq b_m\sim n^{3/2}$，使得对于所有$t$，$F_n\cap(b_t,a_{t+1})=\emptyset$，其中间隙为$|b_t-a_{t+1}|=(n-2)-t(t+1)$且$|a_t-b_t|=t(t-1)$。此外，$f(G)\in[a_t,b_t]$当且仅当$G$可以通过翻转恰好$t$条边/非边从完全二部图得到。另一方面，我们证明对于所有足够大的$n$，如果$m\in[f(n),\binom{n}{3}-f(n)]$，则$m\in F_n$，其中$f(n)$是渐近最优的，对于偶数$n$有$f(n)\sim n^{3/2}$，对于奇数$n$有$f(n)\sim \sqrt{2}n^{3/2}$。此外，我们确定了在具有$n$个顶点和$e\leq n^2/4$条边的图中，受挫三角形数量最少的图。