多数围长为8的广义Petersen图的警察数均为4

广义Petersen图 $GP(n,k)$ 是一个具有 $2n$ 个顶点的三次正则图（参数 $k$ 用于定义部分边）。先前已有证明（Ball 等人，2015）表明，对于所有允许的 $n$ 和 $k$ 值，$GP(n,k)$ 的警察数至多为 $4$。本文我们证明“大多数”广义Petersen图的警察数恰为 $4$。更确切地说，我们证明除非 $n$ 和 $k$ 落入某些特定类别，否则 $GP(n,k)$ 的警察数为 $4$。我们的结果所适用的图均具有围长 $8$。事实上，我们的论证稍更一般：我们证明在任何围长至少为 $8$ 的三次图中，除非存在两个长度为 $8$ 且交于一条长度为 $2$ 的路的圈，否则该图的警察数至少为 $4$。更一般地，在围长至少为 $9$ 且最小度数为 $\delta$ 的图中，警察数至少为 $\delta+1$。