带符号广义 Petersen 图与带符号 I-图的双控制的一些界

在图 $G$ 中，一个顶点支配自身及其邻居。子集 $D \subseteq V(G)$ 称为 $G$ 的双控制集，若 $D$ 对 $G$ 的每个顶点至少支配两次。带符号图 $\Sigma = (G,\sigma)$ 是一个图 $G$ 连同对其所有边赋予正号或负号的分配 $\sigma$。带符号图中的圈若其边符号乘积为正，则称为正圈。若所有圈均为正圈，则带符号图是平衡的。子集 $D \subseteq V(\Sigma)$ 是 $\Sigma$ 的双控制集，若其满足以下条件：(i) $D$ 是 $G$ 的双控制集，且 (ii) $\Sigma[D:V \setminus D]$ 是 balanced 的，其中 $\Sigma[D:V \setminus D]$ 是由 $\Sigma$ 中一端在 $D$ 中、另一端在 $V \setminus D$ 中的边所诱导的子图。$\Sigma$ 的最小双控制集的基数称为双控制数 $\gamma_{\times 2}(\Sigma)$。本文中，我们给出带符号三次图的双控制数的界。我们还获得了带符号广义 Petersen 图和带符号 I-图的双控制数的一些界。