用于带符号网络聚类的正则化谱方法

我们研究带符号图中的 $k$ 路聚类问题。近年来，分析和建模带符号图（其中节点间的亲和度取正值或负值）受到了相当多的关注。最近，Cucuringu 等人 [CDGT 2019] 提出了一种谱方法，即 SPONGE（Signed Positive over Negative Generalized Eigenproblem，负广义特征问题上的正签名），其将聚类任务转化为优化适当定义的目标函数的广义特征值问题。该方法的动机来自社会平衡理论，其中聚类任务旨在将给定网络分解为互不相交的组，使得同一组内的个体由尽可能多的正边连接，而不同组的个体主要由负边连接。通过大量数值模拟，SPONGE 被证明达到了最先进的经验性能。在理论方面，[CDGT 2019] 在带符号随机块模型（SSBM）下，针对 $k=2$ 等大小簇、图适度稠密的 regime，分析了 SPONGE 和流行的 Signed Laplacian 方法。在这项工作中，我们在两方面基于 [CDGT 2019] 中 SPONGE 和 Signed Laplacian 归一化版本的结果展开。首先，对两种算法，我们将 [CDGT 2019] 的理论分析推广到适度稠密 regime 下 $k \geq 2$ 不等大小簇的一般设定。其次，我们引入两种方法的正则化版本以处理稀疏图——标准谱方法表现不佳的 regime——并在相同 SSBM 模型下提供理论保证。据我们所知，正则化谱方法迄今尚未在带符号图聚类的设定中被考虑。我们用一组针对合成数据的广泛数值实验补充了我们的理论结果。