Van Lint-MacWilliams 猜想与有限域上 Cayley 图中的最大团

Van Lint 与 MacWilliams 提出的一个著名猜想指出：若 $A$ 是 $\mathbb{F}_{q^2}$ 的一个子集，满足 $0,1 \in A$，$|A|=q$，且对每个 $a,b \in A$，$a-b$ 均为平方元，则 $A$ 必为子域 $\mathbb{F}_q$。该猜想常以 Paley 图中最大团的形式表述。Blokhuis 首次证明了它，随后 Sziklai 将其推广到广义 Paley 图。本文给出该猜想及其变体的一个新证明，并说明 Paley 图的这一 Erd\H{o}s-Ko-Rado 性质可推广到一类更大的 Cayley 图族——我们称之为 Peisert 型图，从而解决了 Mullin 与 Yip 的猜想。