小和集的计数与随机 Cayley 图的团数
组合数学
2007-05-23 v2 数论
摘要
给定 Z/NZ 中的一个集合 A，我们可以构造一个顶点集为 Z/NZ 的 Cayley 和图 G_A：当且仅当 i + j 属于 A 时连接 i 与 j。我们研究用随机集合 A 进行此构造在多大程度上模拟随机图的生成，证明了 G_A 的团数 a.s. 为 O(log N)。这表明 Cayley 和图可提供 Ramsey 图的良好例子。为证明该结果，我们必须研究 Z/NZ 上集合加法的特定结构。事实上，我们还证明了在 (Z/2Z)^n（其中 2^n = N）上的随机 Cayley 和图的团数几乎必然不是 O(log N)。尽管有图论标题，本文是一篇数论论文。我们的主要结果本质上是对各种 k 与 m 值下 {1,...,N} 中满足 |A| = k 且 |A + A| = m 的集合 A 个数的估计。
引用
@article{arxiv.math/0304183,
title = {Counting sets with small sumset, and the clique number of random Cayley graphs},
author = {Ben Green},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0304183},
year = {2007}
}
备注
18 pages; to appear in Combinatorica, exposition has been improved thanks to comments from Imre Ruzsa and Seva Lev