秩-拉姆齐问题与对数秩猜想
组合数学
2024-10-21 v2 计算复杂性
摘要
如果一个图满足：(i) 其团数很小，且 (ii) 其补图的邻接矩阵秩很小，则称该图为秩-拉姆齐图。我们启动了对这类图的系统性研究。我们的主要动机在于，它们的构造以及不存在性的证明，都与通信复杂度领域中著名的对数秩猜想密切相关。这些研究也为拉姆齐理论开辟了有趣的新方向。我们构造了两个秩-拉姆齐图族，它们在阶数与补图秩之间展现出多项式级别的分离。第一族图中的团数有界（低至41）。这些图是某些强积的子图，其构建块源自无三角形强正则图。第二族图是通过将布尔函数应用于厄尔多斯-雷尼图得到的。它们的团数是对数级别的，但补图秩远小于第一族，约为。这一构造的关键组成部分是我们对提升的矩阵论观点。我们还考虑了秩-拉姆齐数的下界，并在补图秩为5或更小的范围内确定了它们。我们探讨了这些数与其它图参数之间的联系，并发现两个最著名的显式无三角形拉姆齐图构造远非秩-拉姆齐图。
引用
@article{arxiv.2405.07337,
title = {The Rank-Ramsey Problem and the Log-Rank Conjecture},
author = {Gal Beniamini and Nati Linial and Adi Shraibman},
journal= {arXiv preprint arXiv:2405.07337},
year = {2024}
}