有限阿贝尔群的分离性诺贝尔数

对于有限阿贝尔群 $G$，记其分离性诺贝尔数为 $\beta_{\mathrm{sep}}(G)$。我们准确确定了每个有限阿贝尔群 $G \cong C_{n_1}\oplus \cdots \oplus C_{n_r}$（其中 $1<n_1 \mid \cdots \mid n_r$）的 $\beta_{\mathrm{sep}}(G)$。若 $r=2s-1$，则 $$\beta_{\mathrm{sep}}(G)=n_s+n_{s+1}+\cdots+n_r,$$ 否则若 $r=2s$，则 $$\beta_{\mathrm{sep}}(G)=\frac{n_s}{p_1}+n_{s+1}+\cdots+n_r,$$ 其中 $p_1$ 为 $n_1$ 的最小素数因子。我们的证明是加性-组合论的性质。它避免了之前研究中使用的达文葛特等价假设 $\mathsf{D}(n_sG)=\mathsf{D}^{*}(n_sG)$。关键要素是通过新构建的测地 surrogate 的辅助序列的几何化简，以及关系群的统一提升程序。作为应用，我们证明了若 $r\ge 2$，则每个极端分离原子 $A$ 都满足 $|\supp(A)|=|G_0|=r+1$。等价地，Schefler、Zhao 和 Zhong 的支持结论对所有秩至少为2的有限阿贝尔群都成立。相比之下，秩为1的情况是例外情况：对于循环群，类似的猜想结论不成立。